В современном индивидуальном строительстве деревянные перекрытия присутствуют в почти каждом проекте. Находить строение без использования деревянных балок практически невозможно. Деревянные балки используются для устройства полов, а также как несущие элементы для перекрытий между этажами и чердаками.
Формула расчета прогиба балки.
Известно, что деревянные балки, как и любые другие, могут прогибаться под воздействием различных нагрузок. Эта величина – стрелка прогиба – зависит от материала, характера нагрузки и геометрических характеристик конструкции. Небольшой прогиб вполне допустим. Когда мы ходим, например, по деревянному настилу, то чувствуем, как пол слегка пружинит, однако если такие деформации незначительны, то нас это мало беспокоит.
Насколько можно допустить прогиб, определяется двумя факторами:
- Прогиб не должен превышать расчетных допустимых значений.
- Прогиб не должен мешать эксплуатации здания.
Чтобы узнать, насколько будут деформироваться деревянные элементы в конкретном случае, нужно произвести расчеты на прочность и жесткость. Подробные и детальные расчеты такого рода – это работа инженеров-строителей, однако, имея навык математических вычислений и зная несколько формул из курса сопротивления материалов, вполне можно самостоятельно рассчитать деревянную балку.
Вспомогательная таблица для расчета количества балок.
Любая постройка должна быть прочной. Именно поэтому балки перекрытия проверяют в первую очередь на прочность, чтобы конструкция могла выдерживать все необходимые нагрузки, не разрушаясь. Кроме прочности конструкция должна обладать жесткостью и устойчивостью. Величина прогиба является элементом расчета на жесткость.
Прочность и жесткость неразрывно связаны между собой. Вначале делают расчеты на прочность, а затем, используя полученные результаты, можно сделать расчет прогиба.
Чтобы правильно спроектировать собственный загородный дом, необязательно знать полный курс сопротивления материалов. Но углубляться в слишком подробные вычисления не стоит, как и просчитывать различные варианты конструкций.
Чтобы не ошибиться, лучше воспользоваться укрупненными расчетами, применяя простые схемы, а высчитывая нагрузки на несущие элементы, всегда делать небольшой запас в большую сторону.
Алгоритм вычисления прогиба
Содержание
Рассмотрим упрощенную схему расчета, опуская некоторые специальные термины, и формулы для расчета двух основных случаев нагружения, принятых в строительстве.
Нужно выполнить следующие действия:
- Составить расчетную схему и определить геометрические характеристики балки.
- Определить максимальную нагрузку на этот несущий элемент.
- При необходимости проверить брус на прочность по изгибающему моменту.
- Вычислить максимальный прогиб.
Расчетная схема балки и момент инерции
Расчетную схему сделать довольно просто. Нужно знать размеры и форму поперечного сечения элемента конструкции, способ опирания, а также пролет, то есть расстояние между опорами. Например, если вы укладываете опорные брусья перекрытия на несущие стены дома, а расстояние между стенами 4 м, то пролет будет l=4 м.
Деревянные балки рассчитывают как свободно опертые. Если это балка перекрытия, то принимается схема с равномерно распределенной нагрузкой q. В случае если нужно определить изгиб от сосредоточенной нагрузки (например, от небольшой печки, выложенной прямо на перекрытии), принимается схема с сосредоточенной нагрузкой F, равной весу, который будет давить на конструкцию.
Для определения величины прогиба f необходима такая геометрическая характеристика, как момент инерции сечения J.
Схема монтажа деревянных балок перекрытий.
Для прямоугольного сечения момент инерции подсчитывается по формуле:
J=b*h^3/12, где:
b – ширина сечения;
h – высота сечения балки.
Например, для сечения размером 15х20 см момент инерции будет равен:
J=15*20^3/12=10 000 см^4=0,0001 м^4.
Здесь нужно обратить внимание на то, что момент инерции прямоугольного сечения зависит от того, как оно сориентировано в пространстве. Если брус положить широкой стороной на опоры, то момент инерции будет значительно меньше, а прогиб – больше. Этот эффект каждый может прочувствовать на практике. Все знают, что доска, положенная обычным способом, прогибается гораздо сильнее, чем та же доска, положенная на ребро. Это свойство очень хорошо отражается в самой формуле для вычисления момента инерции.
Определение максимальной нагрузки
Для определения максимальной нагрузки на балку нужно сложить все ее составляющие: вес самого бруса, вес перекрытия, вес обстановки вместе с находящимися там людьми, вес перегородок. Все это нужно сделать в пересчете на 1 пог.м балки. Таким образом, нагрузка q будет состоять из следующих показателей:
Расчет на смятие опорных участков балки.
- вес 1 пог.м балки;
- вес 1 кв.м перекрытия;
- временная нагрузка на перекрытие;
- нагрузка от перегородок на 1 кв.м перекрытия.
Кроме того, нужно учесть коэффициент k, равный расстоянию между балками, измеренному в метрах.
Для упрощения подсчетов можно принять усредненный вес перекрытия 60 кг/м², принятую в строительстве нормативную временную нагрузку на перекрытие, равную 250 кг/м², нагрузку от перегородок по тем же нормативам 75 кг/м², вес деревянной балки можно вычислить, зная объем и плотность древесины. Для сечения 0,15х0,2 м этот вес будет равен 18 кг/пог.м. Если расстояние между брусьями перекрытия равно 600 мм, то коэффициент k равен 0,6.
Подсчитываем: q=(60+250+75)*0,6+18=249 кг/м.
Перейдем к расчету величины максимального прогиба.
Расчеты максимального прогиба
Для рассматриваемого случая с равномерно распределенной нагрузкой максимальный прогиб рассчитывается по формуле:
f=-5*q*l^4/384*E*J.
В этой формуле величина Е – это модуль упругости материала. Для древесины Е=100 000 кгс/м².
Подставляя полученные ранее величины, получаем, что максимальный прогиб деревянной балки сечением 0,15х0,2 м и длиной 4 м будет равен 0,83 см.
Если принять расчетную схему с сосредоточенной нагрузкой, то формула для подсчета прогиба будет другая:
f=-F*l^3/48*E*J, где:
F – сила давления на брус, например, вес печи или другого тяжелого оборудования.
Модуль упругости Е для разных видов древесины различен, эта характеристика зависит не только от породы дерева, но и от вида бруса – цельные балки, клееный брус или оцилиндрованное бревно имеют различные модули упругости.
Подобные вычисления могут производиться с различными целями. Если вам нужно просто узнать, в каких пределах будут находиться деформации элементов конструкции, то после определения стрелки прогиба дело можно считать завершенным. Но если вас интересует, насколько полученные результаты соответствуют строительным нормам, то необходимо выполнить сравнение полученных результатов с цифрами, приведенными в соответствующих нормативных документах.